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断面平均速度
ヒント（p.5）

学籍番号
氏　　名
下図のように半径 R の円管に、動粘性係数 ν= 0.4748 \(mm^2/s\) の水が流れている。
円管中央の速度が \(U_{max}\)であるとき,速度分布は
\( \Large \frac{ u(r) }{U_{max}} = 1 - ( \frac{r}{R} )^2 \)
で表せる．流量と断面平均速度を以下の手順にしたがって求めなさい．
(1) \( r \)の位置に微小面 \(dS \,=\, \) ()×() を考えると,
(2) 微小面\( dS \)を通過する流量は, \(dQ \,=\, \)() \(dS\) なので、
(3) 断面全体を通過する流量は,\(Q \,=\, \int dQ = \, \int_{0}^{R} \) ()×() \( dr \)
(4) また、断面積\(S = \)()なので,断面平均速度は\(U_{ave} \,=\, \frac{Q}{ S } = \, \) () \( U_{max} \) となる．
\( R = 20 mm \), Umax \(= 3.0 cm/s\) であれば、
(5) 流量は () \( cm^3/s \)となる．（有効数値3桁で回答すること．）
(6) 断面平均速度は () \( cm/s \)となる．（有効数値3桁で回答すること．）


(1)\(\large r\) (2)\(dS\) (3)\(\large \pi R^2\) (4)\(\large dr\) (5)\(dQ\) (6)\(\large R\)
(7)\(\large \frac{1}{2}\) (8)\(\large \pi r^2\) (9)\(\large \frac{1}{3}\) (10)\(\large U_{max}\) (11)\(\large 2 \pi r\) (12)\(\large 2 \pi R\)
(13)\(\large \frac{2}{3}\) (14)\(\large u(r)\) (15)\(\large Q\)

ヒント：(3)の積分は 変数\( r \)の積分を変数 \( u \) の積分に置換すると良い．

積分範囲は
\( \Large \frac{r| 0 \Rightarrow R}{u| U_{max}\Rightarrow 0}\)

\( \Large \frac{du}{dr} = - \frac{2r}{R^2} U_{max}\) なので、 \( \Large 2 r dr \) を \( \Large - \frac{R^2}{U_{max}} du\) で置換する．、